Experimentalphysik III Übungen, Merkblatt 1, P.Knoll

Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Literatur: z.B. Laub, Lehrbuch der Mathematik, 3.Band, 4.Band, F.Reif, Statistische Physik und Theorie der Wärme, de Gruyter 1987)

Kombinatorik: (Abzählen von Möglichkeiten) Die meisten kombinatorischen Problemstellungen lassen sich auf ein paar Standardprobleme zurückführen:

1) Variation von n unterscheidbaren Elementen zur Klasse k ohne Wiederholung: (z.B. Wähle von n verschiedenen (unterscheidbaren) Kugeln einen Satz von k Kugeln heraus und ordne sie (Reihenfolge). Wie viele Möglichkeiten gibt es ?)

= n (n-1) (n-2) .................(n-k+1) =

Spezialfall: Permutation von n verschiedenen Elementen: = = n!

2) Variation von n Elementen zur Klasse k mit Wiederholung: (z.B. Zahlensystem, wähle aus n Ziffern k aus und bilde Zahl)

=

3) Permutation von n Elementen mit m gleichen (ununterscheidbaren) Elementen:

Verallgemeinerung für m,r,s gleiche Elemente:

4) Kombination von n unterscheidbaren Elementen zur Klasse k ohne Wiederholung: ( Wie 1 jedoch Reihenfolge egal; z.B. Wie viele Teilmengen von k Elementen gibt es zur Menge mit n Elementen ?)

=

Wahrscheinlichkeit: verschiedene Definitionen:

1) experimentelle Definition nach MISES: aus n Stichproben trifft k mal ein Ereignis ein.

(lim bedeutet: ist nur für große n gültig)

2) kombinatorische Definition nach Laplace: alle möglichen Ereignisse Ei werden im Ereignisraum W zusammengefaßt: die n möglichen Ereignisse und die g günstigen Ereignisse werden kombinatorisch berechnet.

3) formal-axiomatische Definition nach A. N. KOLMOGOROW:

Wahrscheinlichkeit P:= Abbildung W ® R, E Î W ® P(E) Î R

1. P(E) ³ 0 " EÎ W

2. P(W ) = 1

3. P(E1 È E2) = P(E1) + P(E2) wenn E1 Ç E2 = { } (E1 und E2 sind disunkt)

Konsequenzen: 0 £ P(E) £ 1

falls E1, E2, ......En Ereignisse mit Ei Ç Ej = { }, E1 È E2 È ..........È En = W , E = Ek È El È .... (g£ n mal) und P(E1) = P(E2) = ......... = P(En), dann ist P(E) = .

Zusammensetzung von Wahrscheinlichkeiten: disjunkte Ereignisse: entweder oder: P(E1+E2)=P(E1)+P(E2);
nicht disjunkt: E1 oder E2: P(E1+E2)=P(E1)+P(E2)-P(E1E2);
unabhängige Ereignisse: sowohl als auch: P(E1E2)=P(E1)· P(E2);
abhängige Ereignisse: wenn E1 dann E2: P(E2/E1)=P(E1E2)/P(E1);

 

Experimentalphysik III Übungen, 1. Übungsblatt, P.Knoll

1) Berechne die Anzahl an Möglichkeiten für folgende Fälle:

a) Bei einer Prüfung sollen aus 10 verschiedenen Fragen 6 gewählt werden.

b) 11 Personen sollen auf 11 Sitzplätze verteilt werden.

c) Darstellung von Mustern mit einfärbigen Leuchtdioden, die in einer 7 x 9 Matrix angeordnet sind.

d) 5 rote, 3 grüne und 4 blaue Kugeln in einer Reihe anordnen.

e) aus 45 unterscheidbaren Elementen 6 verschiedene auswählen (Reihenfolge egal; z.B. Lotto 6 aus 45 ohne Zusatzzahl)

2) Wie viele theoretische Möglichkeiten gibt es, 2 bis 5-atomige Moleküle (z.B. O2, OH, CO2 usw.) aus 10 verschiedenen Atomen zu bilden, wenn Abstände und genaue Anordnung der Atome keine Rolle spielen? ( z.B. O-C-O ist gleich C-O-O usw.)

3) Es werden 6 ideale Würfel geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit:
a) genau eine Eins
b) mindestens eine Eins
c) genau zwei Einsen
zu werfen.

4) In einem Doppelgefäß mit dem Volumen 2V sind 1023 wechselwirkungsfreie Moleküle. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Moleküle ist an jedem Ort im Volumen 2V gleich groß.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, alle Moleküle in nur einem Gefäß mit dem Volumen V anzutreffen?
b) Versuche eine Beobachtungszeit abzuschätzen, innerhalb der realistische Chancen bestehen, dieses seltene Ereignis zu beobachten. ( z.B. für mittlerer Molekülgeschwindigkeit von 100 m/s und einer Genauigkeit der Ortsbestimmung von 10-30 m3)
c) Wie viele Moleküle dürfen maximal im Volumen 2V sein, damit die Wahrscheinlichkeit, daß alle Moleküle im gleichen Gefäß mit Volumen V sind, größer als 10-2 ist?

5) "random walk" Problem in einer Dimension:
Ein Betrunkener (Molekül) startet am Ort x = 0 und macht einen Schritt (erfährt einen Stoß) mit der Wahrscheinlichkeit p in positiver x-Richtung, bzw. in negativer x-Richtung mit Wahrscheinlichkeit q=1-p. Die Schrittlänge (freie Weglänge) ist x0.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den Betrunkenen (das Molekül) nach N Schritten (Stößen) am Ort x anzutreffen? Diskutiere das Ergebnis für verschiedene p,q und N. (Literatur: siehe z.B. F.Reif, Statistische Physik und Theorie der Wärme, de Gruyter 1987,
Ergebnis: und entspricht der Binomialverteilung.

6) Berechne für eine Bewegung nach Beispiel 5 für den Ort x den Erwartungswert <x> (= Mittelwert von x) und das Schwankungsquadrat <D x2>, das ist der Mittelwert von (x-<x>)2.
Anmerkung: Der Mittelwert (Erwartungswert) einer Größe x die mit der Wahrscheinlichkeit P(x) auftritt berechnet sich zu mit . Falls diskrete Werte vorliegen ist anstelle des Integrals die Summe zu nehmen.
Hinweis: Die Berechnung vereinfacht sich, wenn folgende Beziehung benützt wird:

7) Zeige, daß die Binomialverteilung aus Beispiel 5 für N® ¥ und x0® dx in die Gaußverteilung P(x)dx übergeht. Drücke das Ergebnis durch Erwartungswert und Schwankungsquadrat von x aus.
Hinweis: Betrachte an Stelle von W(x) lnW(x) und entwickle lnW(x) um seinen Extremwert.
(Literatur: F.Reif)

8) Zeige, daß die Binomialverteilung für sehr kleine Wahrscheinlichkeiten p ( p<<1) und für n<<N in die Poissonverteilung übergeht.
Hinweis: Zeige zunächst, daß ln(1-p) » -p, (1-p)N-n » e-Np und N!/(N-n)! » Nn ist.

Experimentalphysik III Übungen, 2. Übungsblatt, P.Knoll

9) In einem Behälter mit Volumen V0 befinden sich N0 nicht wechselwirkende Teilchen (Moleküle). Unter der Annahme der gleichen Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Teilchen im Gesamtvolumen V0, berechne die mittlere Anzahl <N> an Teilchen in einem Teilvolumen V. Wie groß ist das Schwankungsquadrat
<(N-<N>)2> für die N Teilchen im Teilvolumen V? Diskutiere das Ergebnis für V << V0 und V ® V0!

10) Wir betrachten N2 Moleküle bei Umgebungsbedingungen (T = 20° C und p = 760 Torr) als ideales Gas:

a) Welches Volumen nehmen NA= 6.0221367· 1023 Moleküle ein?

b) Welche mittlere kinetische Energie und mittlere Geschwindigkeit besitzen die Moleküle?

c) Bestimme den Volumsänderungskoeffizienten g = (Ausdehnung des Gasvolumens um D V bei konstantem Druck p bei Erhöhung der Temperatur von 0° C um D T) und
den Spannungskoeffizienten g ‘ = (Erhöhung des Druckes von p um D p bei konstantem Volumen V durch Erhöhung der Temperatur von 0° C um D T).
Zeige, daß g = g ‘ ist. Warum besitzen alle Gase fast den gleichen Volumsausdehnungskoeffizienten?

d) Wie stark schwankt die Dichte des Gases, wenn sich die Temperatur zwischen -20° C und 20° C ändert?
Wie stark schwankt der Gasdruck, wenn das Volumen auf den in a) bestimmten Wert festgehalten wird?

11) In einem Volumen V sind N Gasmoleküle der Masse M. Welche Energie wird benötigt, um das Volumen V auf das Volumen V’ zu verringern, wenn dabei die Temperatur konstant bleibt? (z.B. 1023 N2 Moleküle bei T=20° C, V=1dm3 und V’=0.5dm3)

12) Wie groß ist das Verhältnis der mittleren Geschwindigkeit von O2, N2 und CO2 in Luft bei Raumtemperatur? Wie verändert sich dieses Verhältnis mit der Temperatur? Wie verhalten sich die Gesamtenergien der einzelnen Moleküle? Was verändert sich, wenn statt CO2 das Molekül H2O betrachtet wird? (CO2 ist linear gebaut, H2O gewinkelt)

13) Gib eine klassische Abschätzung der Rotationsfrequenz, Schwingungsamplitude und Translationsgeschwindigkeit für das HCl Molekül in Abhängigkeit von der Temperatur an. (Vernachlässige die Schwingungs-Rotationskopplung, d.h. keine Fliehkraft und das Trägheitsmoment wird nur im Gleichgewichtsabstand r0 = 1,3· 10-10m betrachtet. Die Atome H und Cl seien über eine Federkonstante
K = 5· 105 dynes/cm aneinander gebunden.)

14) Berechne für die Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung:

a) den Maximalwert:

b) den Erwartungswert der Geschwindigkeit:

c) die mittlere Geschwindigkeit: .

15) In einem Volumen V befinden sich N Teilchen mit Masse M bei der Temperatur T im thermischen Gleichgewicht. Wie groß ist die Schwankung des Druckes p? Welche Bedeutung hat das Ergebnis unter realistischen Bedingungen (siehe Beispiel 11). (Hinweis: Betrachte den Druck den Teilchen mit der Geschwindigkeitskomponente vx auf eine Fläche A ausüben)

16) In einem Entladungsrohr, das bei Raumtemperatur (20° C) mit He-Gas bei einem Druck von 50 Torr gefüllt ist, wird eine Spannung von 100V angelegt. Die Länge des Rohrs beträgt 10 cm.

a) Wie groß ist die mittlere freie Weglänge der He-Atome (r » 1,3· 10-10m) und die mittlere Zeit zwischen zwei Zusammenstößen?

b) Welchen mittleren Weg legen ca. die Elektronen (r » 2,18· 10-15m) zwischen zwei Stößen mit den He-Atomen zurück?
Wie groß ist die mittlere Zeit zwischen zwei Zusammenstößen? (Vernachlässige die Austrittsarbeit der Elektronen.)

c) Welche elektrische Feldstärke müßte herrschen, damit die Driftgeschwindigkeit der Elektronen der mittleren thermischen kinetischen Energie der He-Atome entspricht?

 

Experimentalphysik III Übungen, 3. Übungsblatt, P.Knoll

17) Hydrodynamische Ableitung der Brown’schen Bewegung: (A.Einstein):
Betrachte ein kugelförmiges Teilchen mit Radius a und Masse m. Bei seiner Bewegung mit der Geschwindigkeit v wirkt eine Reibungskraft FR = -6p ah v wobei h die Viskosität der umgebenden Flüssigkeit ist (umgebende Teilchen). Außerdem wirkt noch eine stark schwankende Kraft Fs auf das Teilchen, welche die Ursache für die Geschwindigkeit v = ds/dt oder vx=dx/dt darstellt. Stelle die Bewegungsgleichung auf.
Durch Multiplikation der Bewegungsgleichung mit x und Benützung von und leite nach entsprechender Mittelung die Formel von Einstein und Smoluchowski her. , ( <xFs> = 0, und t >> m/(6p ah ) ; warum?)

18) Versuche der Viskosität h aus Beispiel 17 eine molekularkinetische Deutung zu geben. Gib einen Ausdruck für h an für den Fall der eindimensionalen Zufallsbewegung. Welche Abhängigkeit von Temperatur und Druck wird erwartet? (Hilfe: gehe in ähnlicher Weise wie in 17) vor und interpretiere das Ergebnis: )

19) Ein Signal von 1 nV soll an einem Widerstand von 1MW mit einem Signal-Rauschabstand von 2:1 nachgewiesen werden. Welche Bandbreite der Detektionselektronik ist erforderlich?
Wie setzt sich die Gesamtrauschspannung aus zwei, miteinander nicht korrelierten Rauschquellen zusammen?
Hinweis: Das thermische Rauschen von Elektronen ist analog zur Brown’schen Bewegung von Molekülen anzusehen mit dem Unterschied, daß eine quantenmechanische Formulierung notwendig ist. Eine einfache Abschätzung (die bis auf einen Faktor von 4/3 dem exakten Ergebnis entspricht) erhält man, wenn man den Erwartungswert der klassischen kinetischen Energie der elektrischen Energie U· I· D t gleichsetzt. Das exakte Ergebnis lautet:

20) Modell der Diffusion im festen Körper.
Betrachte eine eindimensionale Kette von Zellen. Die diffundierenden Teilchen springen von Zelle zu Zelle, wobei jede Zelle höchstens ein Teilchen aufnehmen kann. Die Konzentration der Teilchen ist so gering, daß der Fall der Mehrfachbesetzung nicht auftritt. Drücke den Diffusionskoeffizienten aus dem 1. Fick’schen Gesetz mit Hilfe des Abstandes der Zellen und der mittleren Zeit zwischen zwei Sprüngen aus.
In welchem Zusammenhang steht der Diffusionskoeffizient zur Viskosität h ?
Hinweis: Drücke den Diffusionskoeffizienten mit Hilfe der 1-dimensionalen Zufallsbewegung aus.

21) Diffusion durch eine poröse Wand.

a) Die Öffnungen in der Wand sind kleiner als die freie Weglänge der Gasmoleküle. Wie viele Moleküle pro Sekunde können durch eine Wandöffnung diffundieren, wenn N Moleküle im Volumen V sind und der Querschnitt der Wandöffnung A ist? Diskutiere das Ergebnis für n Öffnungen.

b) Diskutiere den Fall, wo ein poröses Tongefäß mit Luft gefüllt ist und von außen mit H2-Gas gespült wird. Warum steigt zunächst der Druck im Inneren des Gefäßes an?
Wann herrscht gleicher Druck im Inneren und Äußeren des Gefäßes?
Was passiert, wenn die H2-Spülung abgeschaltet wird?

22) Gegeben ist eine sinusförmige Konzentrationsmodulation:
. Wie verhält sich solch eine Konzentrationsmodulation zeitlich unter der Berücksichtigung der Diffusion mit Diffusionskoeffizienten D?
Gib die Lösung für einen beliebigen Zeitpunkt t an.

23) Der Wärmeleitungskoeffizient l für einatomige Gase beträgt: . Verallgemeinere dieses Ergebnis für mehratomige lineare und nichtlineare Moleküle. (Betrachte Stöße von Molekülen auf eine Wand unter verschiedenen Winkeln, wobei jedes Molekül pro Freiheitsgrad 1/2kT Energie transportiert.)

24) In einem Kryostaten befindet sich der gekühlte Innenteil im Abstand von 5 cm von der Außenwand. Wie gut muß der Raum zwischen Innenteil und Außenwand evakuiert werden, damit gute thermische Isolation vorhanden ist? (Hinweis: Untersuche das Problem nicht nur unter der Annahme, daß die freie Weglänge klein gegenüber der Abmessung ist.)

Experimentalphysik III Übungen, 4. Übungsblatt, P.Knoll

25) Berechne die benötigte Heizleistung eines Einfamilienhauses. (Wandstärke: 50 cm Vollziegel mit l =2W/mK, B ´ L ´ H = 15m ´ 19m ´ 7m, Außentemperatur = -30° C, Innentemperatur = 20° C)

26) In alten Gebäuden stellt man oft fest, daß es im Inneren im Sommer kühl und im Winter warm ist. Ist dies nur Einbildung oder kann man dies physikalisch erklären?
(Hinweis: Betrachte die äußere Temperatur als periodische Schwankung: T(t, x=0) = T0 + T1eiw t.
Welche Dicke müssen die Mauern (l =2W/mK, r =10kg/dm3, c=1000J/kgK) haben, um diese Umkehr der Jahreszeiten zu erklären? Wie groß ist dabei die Temperaturschwankung im Inneren des Gebäudes, wenn die äußere Temperaturamplitude 20K beträgt?
Wie sehen die Verhältnisse für die täglichen Temperaturschwankungen aus?

27) Betrachte die Aufgabe 11 unter Anwendung des 1. Hauptsatzes der Wärmelehre. Wie ändert sich die innere Energie U?

28) Ausgehend von der Van der Waal’schen Zustandsgleichung berechne die kritischen Größen Tc, Vc und pc. Welche Bedeutung haben diese Größen?

29) Berechne die Parameter a und b der Van der Waal’schen Gleichung für die Gase He (Tc=5,2K, pc=2,3Atm), Ne (Tc=44,7K, pc=27atm), Ar (Tc=151K, pc=48atm), Kr (Tc=211K, pc=54atm), und Xe (Tc=290K, pc=58atm). Welche Aussagen über den Molekül- bzw. Atomaufbau können aus einem Vergleich der a und b-Werte gewonnen werden?
Hinweis: Benütze das Ergebnis von Bsp. 28: , .

30) Luft besteht vorwiegend aus N2, O2, CO2 und H2O. Wird jede dieser Komponenten für sich betrachtet, wie unterscheiden sie sich in ihrem Wärmeleitvermögen? (Annahme von kleiner freier Weglänge) Kann diese Überlegung auf das Gasgemisch übertragen werden? (siehe auch Bsp. 23: , schätze d für die jeweiligen Moleküle)

31) Für den Fall großer Weglänge versuche einen Ausdruck für die pro Zeiteinheit transportierte Wärmemenge zu geben. Wie hängt diese pro Zeiteinheit transportierte Wärmemenge von Größe und Bauart der Moleküle ab?
(Hinweis: Betrachte analog zur Ableitung der Wärmeleitfähigkeit für kurze freie Weglänge zwei parallele Wände im Abstand L mit den Temperaturen T1 und T2. Zwischen den beiden Wänden transportieren N Moleküle pro Volumen V Wärmemengen d Q, wobei die Moleküle mit verschiedenen Winkeln J und einer mittleren Geschwindigkeit <v> auf den Wänden auftreffen. Stelle analoge Überlegungen wie in Bsp.23 an, aber betrachte dabei Bedingungen wie für Bsp. 24)

32) In einem Volumen V befinden sich N1 Moleküle O2 und N2 Moleküle H2. Wenn diese beiden Moleküle mit einer kinetischen Energie größer als die Aktivierungsenergie Ea zusammentreffen kommt es zur Reaktion:
O2 + H2 ® H2O + O. (Vernachlässige mögliche weitere Reaktionen des Radikals O)

a) Wie viele der vorhandenen Moleküle können bei vorgegebener und festgehaltener Temperatur miteinander reagieren?
Hinweis: Versuche zunächst die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, mit der 2 Moleküle innerhalb eines angenommenen Wirkungsquerschnittes s zusammenstoßen und wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, daß zwei unterschiedliche Moleküle zusammenstoßen. Dann versuche zu berechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, daß beide Moleküle zusammen eine Energie größer als die Aktivierungsenergie besitzen. (Die Anzahl an Stößen pro Zeit an einem einzigen Teilchen ist: s <v>(N1+N2)/V)

b) Welche Leistungsdichte der Reaktion wird für eine vorgegebene Temperatur erwartet, wenn Er die Energie ist, die pro Reaktionspaar freigesetzt wird.

c) Diskutiere, unter welchen Bedingungen es zur Explosion kommen kann. (Hinweis: Versuche abzuschätzen, welche Temperatur T2 sich im Volumen V mit der Oberfläche O einstellt, wenn die Umgebungstemperatur T1 ist. Gib den entsprechenden Zusammenhang zwischen den einzelnen Größen an. Siehe auch z.B. Vogel: Probleme aus der Physik)

Experimentalphysik III Übungen, 5. Übungsblatt, P.Knoll

33) Kompression eines Gases:

a) In Bsp. 11 und 27 wurde bereits die isotherme Kompression eines idealen Gases behandelt. Welche Arbeit muß an einem realen Gas geleistet werden?
Vergleiche das Resultat mit der Berechnung für das ideale Gas (z.B. N2: Tc=126K, pc=33 atm bei Raumtemperatur und nahe der Verflüssigung T=100K).

b) Welche Energie muß für die adiabatische Kompression eines idealen Gases aufgewendet werden?

34) Quantenmechanische Betrachtung der spezifischen Wärme:

a) Die Schwingung eines 2-atomigen Moleküls kann als harmonischer Oszillator betrachtet werden. Die Gesamtenergie ist dann in Vielfachen von hn gequantelt. mit n =0,1,2,3 ... usw. Die thermisch gemittelte Gesamtenergie von N Oszillatoren ergibt sich dann:
Leite einen Ausdruck für die spezifische Wärme (Molwärme) Cv her. Bei welcher Temperatur macht sich das Ausfrieren der Schwingungsfreiheitsgrade bemerkbar? (z.B. für Moleküle aus Bsp.13.) Welche Rolle spielt dabei die Nullpunktsenergie?
(Hinweis: siehe z.B. C.Kittel: Einführung in die Festkörperphysik, Stichwort: Einstein-Modell)

b) Ähnlich wie die Schwingungen sind auch die Energien der Rotationen der Moleküle gequantelt. (I = Trägheitsmoment, J = 0,1,2, ... usw.). Dabei ist jede Rotationsenergie (2J+1)-fach entartet, d.h. bei N Molekülen ist die Energie pro Rotationsfreiheitsgrad
E(J) = Erot(J) N (2J+1). Die nicht normierte thermodynamische Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von E(J) genügt dem Boltzmannfaktor (kanonische Verteilung).
Bestimme die Gesamtrotationsenergie von N Molekülen in Abhängigkeit der Temperatur (thermodynamischer Erwartungswert) und ermittle daraus den Beitrag der Rotationen zur spezifischen Wärme.
Bei welcher Temperatur frieren die Rotationen aus? (Für Werte aus Bsp.13)

c) Wie sieht die gesamte Molwärme eines Gases aus mehratomigen Molekülen aus?

35) Carnot’scher Kreisprozeß:

Mit Hilfe eines idealen Gases wird folgender Kreisprozeß zwischen zwei Wärmereservoirs mit Temperatur T1 und T2 < T1 realisiert:

1. Wärmekontakt (Temperaturausgleich) mit Reservoir T1:
isotherme Expansion bei T1 von Volumen V1 auf V2.

2. Kein Wärmekontakt:
adiabatische Expansion von Volumen V2 auf V3;
die Temperatur ändert sich dabei von T1 auf T2 < T1.

3. Wärmekontakt mit Reservoir T2:
isotherme Kompression bei T2 von V3 auf V4.

4. Kein Wärmekontakt:
adiabatische Kompression von V4 auf V1;
die Temperatur ändert sich dabei von T2 auf T1.

Sämtliche Teilprozesse werden reversibel geführt.

a) Gib die geleistete bzw. erhaltene Arbeit für jeden Teilprozeß an. Wann wird welche Wärmemenge zwischen Reservoir T1 und Reservoir T2 übertragen?

b) Skizziere die einzelnen Teilprozesse im pV-Diagramm.
Welche Bedingung müssen die Volumina V1, V2, V3 und V4 erfüllen, damit ein geschlossener Kreisprozeß möglich ist?

c) Der Wirkungsgrad h ist definiert als (abgegebene Arbeit - aufgewendete Arbeit) / (vom Wärmereservoir T1 abgegebene Wärmemenge).
Leite den Ausdruck: h = (T1 - T2) / T1 her.

Experimentalphysik III Übungen, 2. Merkblatt P. Knoll

Zusammenhang: Wahrscheinlichkeit - thermodynamische Größen

Die wichtigste Erkenntnis der Thermodynamik ist, daß ein System nicht nur den Zustand niedrigster Energie einnimmt, sondern auch den statistisch am wahrscheinlichsten Zustand. (Man beobachtet kaum, daß sämtliche Moleküle in einem Volumen sich in nur einer Ecke aufhalten.) Mit der Wahrscheinlichkeit eines Zustandes ist der Begriff Entropie verbunden. Betrachtet man in diesem System zwei Untersysteme so sind diese dann im Gleichgewicht, wenn sie sich in ihrem Zustand zeitlich nicht ändern; man sagt auch, sie haben gleiche Temperatur. Dieses thermodynamische Gleichgewicht ist dadurch charakterisiert, daß die Energien der beiden Untersysteme sich so aufgeteilt haben, daß ihre Summe der Energie des Gesamtsystems entspricht, und daß das Gesamtsystem dabei auch den wahrscheinlichsten Zustand einnimmt.

Zu den entsprechenden mathematischen Beziehungen gelangt man, wenn man folgendes einfache Modell betrachtet. Sei A0 das Gesamtsystem mit der Energie E0. Die Untersysteme A1 und A2 besitzen die Energien E1 und E2 mit E1 + E2 = E0. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein Untersystem, z.B. A1, die Energie E1 hat ist dadurch bestimmt, wie viele Möglichkeiten W 0(E1) dabei das Gesamtsystem hat. Dies hängt kombinatorisch von den Möglichkeiten der Untersysteme ab: W 0(E1) = W 1(E1)· W 2(E2=E0-E1). Am wahrscheinlichsten ist der Zustand mit den meisten Möglichkeiten. Dies bedeutet, daß das Maximum von W 0(E1) aufgesucht werden muß. Da in realen Systemen der kombinatorische Ausdruck recht kompliziert ist, ist es einfacher das Maximum von lnW 0(E1) zu berechnen. (Handelt es sich um ein gut ausgeprägtes Maximum, welches eine recht symmetrische Form aufweist, führt dieser mathematische Trick zum gleichen Ergebnis. Reale Systeme aus vielen Teilchen genügen dieser Bedingung.) Das Maximum erhalten wir aus:

lnW 0(E1)/ E1 = lnW 1(E1) )/ E1 + lnW 2(E2)/ E2· E2/ E1) = lnW 1(E1)/ E1 - lnW 2(E2)/ E2 = 0

Der Zustand maximaler Wahrscheinlichkeit (thermodynamisches Gleichgewicht) ist dadurch charakterisiert, daß lnW 1(E1)/ E1 gleich lnW 2(E2)/ E2 ist. Dies entspricht der phänomenologischen Erkenntnis, daß beide Untersysteme gleiche Temperatur haben (T1 = T2). Benützt man noch die Eigenschaft der phänomenologisch definierten Temperatur, daß sie proportional zur Energie sein soll, kann die Bedingung für den wahrscheinlichsten Zustand auch so geschrieben werden:

lnW 1(E1)/ E1 = lnW 2(E2)/ E2 = 1/kT1 = 1/kT2 1/T = k lnW (E)/ E = (k lnW (E))/ E = S/ E ; S = k lnW (E)

Dabei ist k eine universelle Konstante (Boltzmannkonstante) und S ist die Entropie des Systems. (Anmerkung: W (E) wird auch die thermodynamische Wahrscheinlichkeit genannt. Im Gegensatz zur mathematischen Wahrscheinlichkeit, welche Werte zwischen 0 und 1 annimmt, variiert die thermodynamische Wahrscheinlichkeit zwischen 1 und ¥ .)

Eine weitere wichtige Beziehung kann gewonnen werden, wenn wir folgenden Fall betrachten. Das Subsystem A1 soll vernachläßigbar klein gegenüber dem Gesamtsystem sein. (z.B. ein Molekül oder Atom in einem makroskopischen Gasvolumen) Dann ist E1 << E0 und E2 » E0. Wir fragen nach der Wahrscheinlichkeit, mit der das Molekül oder Atom in einem bestimmten Zustand r mit Energie Er anzutreffen ist. Diese Zustände r sollen nicht entartet sein, also zu jedem r genau eine entsprechende Energie Er existieren; dann ist W 1(Er) = 1. In diesem Fall kann die Wahrscheinlichkeit das Untersystem mit Energie Er anzutreffen über eine Reihenentwicklung von lnW 2 berechnet werden:

lnW 0(Er) = lnW 2(E2) = lnW 2(E0) + lnW 2(E2)/ Er· Er + ... = lnW 2(E0) - lnW 2(E2)/ E2· Er + ... @ lnW 2(E0) - Er/kT2

Daraus ergibt sich W 0(Er) zu W 2(E0)· exp(-Er/kT2) was die kanonische Verteilung genannt wird. Die Wahrscheinlichkeit P(Er) ist proportional zu W 0(Er) mit der Normierung S rP(Er)=1. Die Normierungskonstante Z =S rexp(-Er/kT2) wird Zustandssumme (‘partition function’) genannt. (Anm.: Auch im Fall der Energieentartung bleibt dieses Ergebnis richtig, solange in der Summation wirklich über jeden Zustand r, auch die entarteten, summiert wird.)

P(Er) = 1/Z · exp(-Er/kT2)

Diese kanonische Verteilung ist Basis für weitere Verteilungsfunktionen (z.B. Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung, die Maxwell-Boltzmann-Verteilung klassischer Teilchen, die Bose-Einstein-Verteilung von Bosonen und die Fermi-Dirac-Verteilung von Fermionen). Die Berechnung vieler wichtiger Erwartungswerte beruht auf der kanonischen Verteilung. Insbesondere in der Atom- Molekül- und Festkörperphysik werden damit temperaturabhängige Stoffgrößen bestimmt. Das Verständnis von experimentellen Ergebnissen in der Spektroskopie (Linienintensitäten, Linienbreiten, Linienverschiebungen mit der Temperatur) ist nur mit dem Verstehen der kanonischen Verteilung möglich.

Experimentalphysik III Übungen, Abschlußtest P. Knoll

 

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  1. Für die Gaußverteilung berechne:

  1. Den Erwartungswert von x.
  2. Das Schwankungsquadrat <(x - <x>)2>.
  3. Skizziere den Verlauf der Verteilung und zeige wo Erwartungswert und die Wurzel aus dem Schwankungsquadrat liegen.

  1. Betrachte Luft vorwiegend aus N2 bestehend. Berechne für eine Temperatur von 300K:

  1. Den Erwartungswert der Geschwindigkeit.
  2. Das Wärmeleitvermögen, wenn 2· 10-10m als Durchmesser des Wirkungsquerschnittes angenommen werden.

3) Eine Trennwand wird errichtet, um einen Raum mit möglichst konstanter Temperatur zu schaffen. Welche Wandstärke muß mindestens gewählt werden, damit äußere periodische Temperaturschwankungen von 20K auf maximal 1K Schwankungen durch die Wand abgeschwächt werden. (Wand: r =10kg/dm3, c=1000J/kgK, l =2W/mK)