1. Einleitung

 

1.1: Vorbemerkung


Das folgende Skriptum stellt Arbeitsunterlagen zur Vorlesung dar, und soll als Erleichterung bei der Konsumierung des Vorlesungsstoffes dienen. Es stellt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und auch nicht auf selbstständige didaktische Aufarbeitung. Demnach sind wohl alle wichtigen Definitionen und Sätze enthalten, aber kaum Beweise und Beispiele. Der verbindende Text ist auf ein Minimum gehalten, teilweise, wie z.B. bei der Behandlung der mathematischen Grundlagen, ist oft der Inhalt alleine durch die Abfolge von Definitionen und Sätzen bereits eindeutig festgelegt. Allerdings sind an einzelnen Stellen dann entsprechende Bemerkungen hinzugefügt, um komplexe Zusammenhänge leichter verständlich zu machen. Zur leichteren Kenntlichmachung wurden Symbole fett gedruckt wenn hervorgehoben werden soll, daß sie Objekte bezeichnen die Elemente eines Vektorraumes sind, hingegen kursiv gedruckt wurde, wenn hervorgehoben werden soll, daß sie Objekte bezeichnen die als lineare Operatoren wirken.
 
 
 

1.2: Prinzipien des naturwissenschaflichen Verstehens (Erkenntnisgewinn)


Am Anfang stehen die Beobachtungen (Wahrnehmungen). Man versucht, diese auf einer höheren Abstraktionsebene zueinander in Beziehung zu setzen, Querverbindungen zu schaffen. All diese Querverbindungen werden letztlich zu einem Modell zusammengefaßt, welches auch als Konsequenz Vorhersagen für neue Beobachtungen (und neue Querverbindungen) liefert. Diese können dann durch gezielte Beobachtungen verifiziert oder falsifiziert werden. Viele kleinere Modelle können durch höhere Querverbindungen zu übergreifenden Modellen verbunden werden, wobei man sich meist zu immer höheren Abstraktionsstufen (bezogen auf die Ebene der unmittelbaren Beobachtung) entfernt. Entscheidende Voraussetzung für ein Modell ist seine logische Widerspruchsfreiheit. Das naturwissenschaftliche System beinhaltet, daß ein Modell nie bewiesen, aber durch Beobachtungen falsifiziert werden kann.

Um möglichst hohe logische Widerspruchsfreiheit zu erreichen, versucht man die meisten Beobachtungen und ihre Querverbindungen in die Mathematik abzubilden, um dort basierend auf der formalen Logik, möglichst axiomatisch das Modell aufzubauen. Dies reflektiert auch der formale Aufbau dieses Skriptums wieder, welches aus Definitionen (Axiome, können nicht bewiesen werden) und Sätzen (Konsequenzen und logische Verknüpfungen der Axiome, müssen bewiesen werden) besteht.

Die heutige Behandlung der Symmetrien (zum Beispiel mit Hilfe der Gruppentheorie) ist ein Beispiel dieser naturwissenschaftlichen Vorgangsweise, welche durch die recht starke Abgrenzung des Begriffes Symmetrie (wie er hier verstanden werden soll) in recht einfacher Weise aufgezeigt werden kann. Symmetrien wurden schon immer als Hilfsmittel des Verstehens verwendet und beinhalten zunächst in einfachster Form die starke Trennung zwischen Gleichem und Gegensätzlichem.
 

1.3: Der Begriff Symmetrie in verschiedenen Kulturen


stammt aus dem Griechischen: "sum" und "metros" was soviel wie "mit Maß" oder "wohlproportioniert" heißen soll. Was genau darunter verstanden wird, hat sich mit der Zeit geändert. Auch heute hat der Begriff in Kunst, Kultur, Sprachgebrauch und Naturwissenschaften unterschiedliche Bedeutung.

Wie schon sehr früh versucht wurde, durch Symmetrie das Leben zu verstehen, zu ordnen bzw. zu Entscheidungen zu gelangen, zeigen Rituale und Kultgegenstände früher Kulturen. Motiviert war dies wahrscheinlich durch die regelmäßig ablaufenden Naturereignisse (wie z.B. Tag-Nacht, Jahreszeiten, Sternbilder, Periode der Säugetiere, etc.) mit denen man möglichst in Einklang sein mußte um zu überleben. Zusammen mit der Fähigkeit des Sehens Muster zu erkennen, entwickelte sich wohl die auf geometrischen Figuren aufbauenden Bilder von Naturvölkern.
 

Abb. 1.1: Sandgemälde der Regenbogenkultur der Navajo Indianer
  Dies sieht man z.B. in Abb.1.1. bei den Sandgemälden der Regenbogenkultur der Navajos (Nordamerika), welche ihr "Weltbild" als wörtlich verstandenes Gemälde wiedergeben. Hergestellt aus verschiedenfarbigem Sand, Maismehl, Pflanzenpollen und Blütenblättern zeigt es die Wichtigkeit von Wasser und Licht in Form des Regenbogens. Das mittlere Quadrat symbolisiert die Quelle alles Lebens, das Wasser, und ist an den Kanten jeweils von vier Regenbogenstreifen entsprechend der vier Himmelsrichtungen umgeben. Jeder dieser Regenbogenstreifen besitzt einen Kopf, entweder eckig (männlich) oder rund (weiblich). Umschlossen wird das Gemälde von einem kreisförmigen Regenbogen, welcher die Beschützerin der Navajos, die Regengöttin symbolisiert. Weiters sind zwei Fliegen als Wächter oder Boten abgebildet. Abb. 1.2: aztekische Weltkarte
  Ganz ähnlich ist die aztekische Weltkarte (Mexiko) ausgeführt, die in Abb.1.2 gezeigt ist. Die Karte entspricht eher einem Kalender, in dem die 260 Tage (5· 52, nach 5 Weltgegenden) in Vierteln (4· 5· 13) aufgeteilt sind (entsprechend einer 13 tägigen Woche und vier Jahreszeiten zu je 5 Wochen). In den Bildnissen geht es jedoch etwas weniger friedfertig als bei den Navajos zu. So steht im Mittelpunkt der Feuergott Xiuhtecutli, der von vier Seiten Ströme aus Blut empfängt. Die Darstellung entspricht einem Kultplatz, auf dem ein Menschenopfer zerstückelt wurde und die Leichenteile in alle Himmelsrichtungen ausgebreitet wurden. Insgesamt sind neun Gottheiten (entsprechend den 9 Nachtstunden) dargestellt. Die noch fehlenden acht sind in Paaren gruppiert und nach den Windrichtungen angeordnet: im Norden Iztli (der Opfermessergott) und Piltzintecutli (eine Nebenform des Sonnengottes), im Osten Cinteotl (Maisgott) und Mictlantecutli (Totengott), im Süden Chalchiuhtlicue (Wassergöttin) und Tlazolteotl (Erd- und Mondgöttin), im Westen Tepeyollotli (Erdgott) und Tlaloc (Regengott).

Ein weiteres Beispiel, findet man in der Kultur der Jina aus indischem Einflußgebiet. In ihrem Weltbild errichten die Götter jedem Jina ein sogenanntes Samavasarana, in deren Mittelpunkt der Jina sitzt und meditiert. (Die Jinas haben ihr Weltbild, Kalpasutra, in Miniaturen wiedergegeben, welche erst ab dem 15. Jahrhundert eindeutig belegt sind.) Im Original des Samavasarana umgeben drei Ringmauern den runden oder quadratischen Zentralplatz. Die Mauern haben jeweils vier Tore entsprechend der Himmelsrichtungen.
 
 
 

Abb.1.3: Scricakra (indische Kabbalistik)
  Viele Beispiele findet man dafür, daß symmetrische und geometrische Anordnungen nicht nur zur Illustration des gesamten Lebensgefühles bzw. Weltbildes intuitiv verwendet wurden, sondern ganz gezielt zu Erkenntnisgewinn und als Entscheidungshilfe eingesetzt wurden. Ein Beispiel dafür zeigt Abb.1.3 aus der indischen Kabbalistik (Zuordnung von Buchstaben, Wörtern). Im Scricakra ist das Zentrum (Meru) aus 43 Dreiecken gebildet, welche von 12 und 8 blättrigen Lotusblüten umgeben sind. Die Zuordnung von Lebensfragen und Lebensantworten erfolgte einerseits an den Lotusblüten, aber auch bei den Dreiecken, deren drei Seiten verschiedene Silben, aber auch die Dreiheit von Denken-Stimme-Körper oder die drei verschiedenen Lichter, Sonne, Mond und Feuer darstellen konnten. Die Entscheidungsfindung selbst war durch das Aufeinandertreffen von den Spitzen der Dreiecke mit den Lotusblüten durch eine große Kombinationsmöglichkeit charakterisiert.

Bereits sehr früh wurden auch detaillierte Naturvorstellungen mit geometrischen Anwendungen verbunden. Im "Buch der Wandlungen" (I. Ching, 8. Jhdt. v. Chr.) werden bereits vier naturphilosophische Gegensatzpaare von Kräften und Elementen beschrieben, welche durch acht spiegelungssymmetrisch angeordnete Trigramme symbolisiert werden (Abb.1.4). Dies ist auch in Münzform erhalten.
 
 
 

Abb.1.4: chinesische Naturphilosophie (Buch der Wandlungen)
 
Abb.1.5: "Ars magna" von Raimundus Lullus, Spätmittelalter


Ein recht spätes Beispiel aus dem Mittelalter soll illustrieren, daß auch in unserem Kulturkreis bis vor kurzem kabbalistische Spekulationen mit Symmetrien stattgefunden haben und damit nicht nur der Mystik ferner Frühkulturen vorbehalten ist. In Abb.1.5 ist die "Ars magna" des von Leibnitz sehr geschätzten katalanischen Philosophen Raimundus Lullus gezeigt.

Die chinesische Kultur verwendet die Symmetrien in ihrer eigenen Art des Yin und Yang, wie wir sie schon in Abb.1.4 zur Beschreibung der Natur vorgefunden haben. Nach einer späteren Deutung in der "großen Abhandlung" (Ta Chuan) gehen diese Symbole auf die Dualität von Licht und Dunkel zurück. Auch in der chinesischen Kultur werden diese Symbole und Symmetrien für Erkenntnisgewinn und Entscheidungshilfen eingesetzt. Dies kommt am besten in den Wen-Ordnungen zum Ausdruck, von denen eine in Kreis- und Quadratdarstellung (Fu-Hsi-Ordnung) in Abb.1.6 gezeigt ist. Die Pfeile zeigen an, in welcher Richtung die Wen-Ordnung zu lesen ist.
 
 
 
 
 

Abb.1.6: Fu-Hsi-Ordnung (Wen-Ordnung)

1.4: Verschiedene Formen der Symmetrie


Def. 1.1 Isometrie: räumliche und/oder zeitliche Wiederholung gleicher (identischer) Elemente (isos = gleich im Sinne von identisch)

 

Abb.1.7: Verschiedene Ornamente mit Isometrie


Bemerkung: Isometrie besteht aus Translationssymmetrie (ähnlich wie der Aufbau des Festkörpers). Bei den Ornamenten (eindimensionale Translationsgruppe) können die Translationen mit weiteren Symmetrieoperationen kombiniert werden. Dies führt zu den 7 verschiedenen Friesgruppen (entspricht den Raumgruppen beim Festkörper). In Abb.1.7 sind diese Friesgruppen dargestellt: 1) reine Translation um Translationsvektor a, 2) Tranlation und Spiegelung um Längsachse, 3) Translation und Spiegelung um Querachse, 4) Translation und Inversion (Drehung um 180° ), 5) Kombination der Friesgruppen 1, 2, 3 und 4, 6) Translation und Gleitspiegelung, 7) Kombination der Friesgruppen 3, 4 und 6.
 

Def. 1.2 Homöometrie: räumliche und/oder zeitliche Wiederholung gleichartiger (ähnlicher) Elemente (omeos = gleichartig)

 

Abb.1.8: Homöometrie


Def. 1.3 Antisymmetrie: Anordnung von gegensätzlichen Elementen, Art von Gegensymmetrie, Umkehrsymmetrie oder Schwarz-Weiß-Symmetrie. (jedoch nicht asymmetrisch) (Bsp. Antiferromagnetismus)

 
Abb.1.9: Yin-Yang-Symbol
  Def. 1.4 Farbsymmetrie: Erweiterung der Antisymmetrie auf mehr als nur +1, -1 Zustände. (Beispiele: Quarkmodelle)  

Abb.1.10 Farbsymmetrie der Fische (Escher)
 

 Bemerkung: In der Kunst war man schon früh bestrebt, Regeln für Wohlproportioniertheit einzuführen. Der "goldene Schnitt" wurde dabei auch für besondere Wohlproportioniertheit bei der Darstellung des menschlichen Körpers verwendet (Dürer). Der goldene Schnitt ergibt sich bei vielen geometrischen Figuren. Z.B. erhält man ihn aus dem Teilverhältnis der Diagonalen des regelmäßigen Fünfeckes, oder aus dem Verhältnis des über dem Durchmesser eines Kreises eingeschriebenen Quadrates zum Rechteck mit einer Kantenlänge gleich dem des eingeschriebenen Quadrates und der anderen Kantenlänge gleich der halben Differenz von Kreisdurchmesser und Quadratkantenlänge (t :1 = 1,618....:1). Einen analytischen Ausdruck für t bekommt man, wenn man eine Strecke a so auf eine Länge x teilt, daß die Fläche des Quadrates über x gleich der Fläche des Rechteckes gebildet aus a-x und a ist. Also: x2=a(a-x) und a/x = t . Daraus folgt, daß t = 0.5(1±Ö 5).     Abb.1.11: Darstellung des menschlichen Körpers nach dem goldenen Schnitt.  
 
  Def. 1.5 Asymmetrie, Symmetriebrechung: es liegen keine Symmetrien vor

Bemerkung: In der belebten Natur, sind meist nie irgendwelche Symmetrien vollständig gegeben. Diese geringen Abweichungen machen aber meist den Reiz oder Spannung aus (Nachempfunden in der Kunst). Symmetriebrechung macht überhaupt erst die Evolution und Entwicklung des Lebens möglich, im Gegensatz zu starrer Kopie (Klonen) .

    Abb.1.12: Darstellung der Aphrodite mit Abweichungen der Proportionen vom goldenen Schnitt.  
 
 
 

Abb.1.13: Symmetriebrechung in der Duplizierung der DNS (Mutationen)

 
 
    Abb.1.14: Verschiedene Beispiele aus "stark" symmetrischen Formen in der Natur (sind aber im mathematischen Sinn asymmetrisch)  

1.5: Bedeutung der Symmetrie in den Naturwissenschaften


In den Naturwissenschaften war schon immer das Bestreben gegeben, durch Symmetrien zu Verständnis zu gelangen. Dies war z.B. bei Platon mit den 5 Platonischen Körpern zur Charakterisierung von Feuer (Tetraeder), Erde (Würfel), Luft (Oktaeder), Wasser (Ikosaeder) und des Universums (Dodekaeder) zu erkennen.
 
 
 

Abb.1.15: Die 5 platonischen Körper (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Ikosaeder, Dodekaeder) Diese regelmäßigen Körper im 3-dimensionalen Raum gehen auf Theaitetos zurück. Er zeigte, daß dies die einzigen Körper sind, die sich aus regelmäßigen Dreiecken, Fünfecken und Quadraten bilden lassen.

(Eine Erweiterung bekommt man, wenn man auch die in letzer Zeit stark diskutierten Fullerene betrachtet, welche aus 5 und 6-Ecken aufgebaut sind. Die Bezeichnung geht auf den Architekten zurück, der solche Konstruktionen verwendete.)

Auch Kepler versuchte mit Hilfe von Symmetrien und dem Ineinanderschachteln von den regelmäßigen Körpern Erkenntnis zu gewinnen und wollte die Daten von den Umlaufbahnen der Planeten aus den geometrischen Körpern ableiten.
 
 
 
 

Abb.1.16: Das Keplermodell
 
 

 Auch in neuerer Zeit werden Symmetrien benützt um Modelle zu vereinfachen oder Theorien zu Vereinheitlichen (Supersymmetrien, Vereinheitlichung schwache und elektromagnetische Wechselwirkung). Unsere heutige physikalische Denkweise ist ebenfalls stark durch Symmetrien geprägt, wie z. B. im sehr grundlegenden Noether-Theorem zum Ausdruck kommt, welches Symmetrien mit Erhaltungssätzen verbindet.
 

Satz 1.1 Noether-Theorem: Wenn die Variation dW eines Integrals W Null ist, und wenn diese Variation invariant gegenüber der kontinuierlichen Transformation mit r Parametern ist (Gruppe Gr), dann gibt es genau r Erhaltungssätze.