Anhang B: Übungen zur Vorlesung

 

B.1: Aufgaben


1. Beweisen Sie: In der Multiplikationstafel einer Gruppe kommt jedes Element in jeder Spalte und jeder Zeile genau einmal vor.

2. Gegeben ist folgende Multiplikationstafel einer Gruppe:
 

E A B C D F
E E A B C D F
A A B E F C D
B B E A D F C
C C D F E A B
D D F C B E A
F F C D A B E

  Dabei ist in der ersten Spalte das Element, das von links multipliziert wird und in der ersten Zeile jenes, welches von rechts multipliziert wird.
Überprüfen Sie:

a) Ist die Gruppe abelsch?
b) Ist die Gruppe zklisch?
c) Welche Untergruppen gibt es?
d) Welche Elemente bilden Klassen konjugierter Elemente?
e) Welche Untergruppen sind Normalteiler?


3. Warum bilden die Elemente mit der folgenden Multiplikationstafel keine Gruppe?
 

E A B C D F
E E A B C D F
A A B E D F C
B B E A F C D
C C D F A E B
D D F C B A E
F F C D E B A

4. Zeigen Sie, daß die Menge mit den Symmetrieelementen E, C2[001], i und sh[001] eine Gruppe bildet bezüglich der Hintereinanderausführung. Stellen Sie die Multiplikationstafel auf.
 

5. Gegeben sei eine Gruppe G die zur Gruppe G´ homomorph ist. Zeigen Sie, daß es einen Normalteiler von G gibt, dessen Faktorgruppe zum Bild des Homomorphismuses in G´ isomorph ist. (Satz 2.5.6)
 

6. Zeigen Sie: Eine Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, muß zyklisch sein.
 

7. Finden Sie die Normalteiler der Permutationsgruppe S3.

8. Beweisen Sie Satz 2.5.4:

f: G ® G' ist Homomorphismus zwischen den Gruppen G und G'.
Es gilt:
a) f(e) = e'
b) " a Î G gilt: f(a-1) = f(a)-1
  9. Beweisen Sie Satz 2.5.5: Die Eigenschaft von Gruppen zueinander isomorph zu sein ist eine Äquivalenzrelation, d.h.:
a) idG: G ® G ist Isomorphismus (Identität)
b) f: G ® G' ist Isomorphismus:  dann ist auch f-1: G' ® G ein Isomorphismus
c) f: G ® G' und f': G' ® G'' sind Isomorphismen:  dann ist auch f' * f ein Isomorphismus
 
10. Bestimmen Sie die Punktsymmetriegruppen der folgenden Moleküle:
    a) CH4
    b) NH3
    c) ebenes AB3-Molekül
    d) Allene: C3H4

    Welche Symmetrieoperationen sind in den jeweiligen Gruppen?
    Welche Klassen äquivalenter Elemente existieren?
    Welche Gruppen sind kommutativ, welche zyklisch?

11. Geben Sie für die Punktgruppe D3 jeweils eine Darstellung für das elektrische und das magnetische Moment an. Haben Sie dabei bereits die Darstellung für die Temperatur gefunden? Kann ein Molekül mit D3-Symmetrie ein elektrisches Dipolmoment besitzen oder ein magnetisches Moment aufweisen?
 

12. Welche Schwingungstypen klassifiziert nach irreduziblen Darstellungen sind in H20 möglich? Nach welchen irreduziblen Darstellungen transformieren sich die reinen Translationen und Rotationen des Moleküls? Geben Sie eine Basis für die G-invarianten Unterräume der Molekülschwingung an.
 

13. Geben Sie eine Symmetrieanalyse der Schwingungen der Moleküle aus Beispiel 10 an. (Methan, Amoniak, ebenes AB3 Molekül und Allene) Wieviele Schwingungen sind dabei IR-aktiv, wieviele Raman-aktiv? In welchen Polarisationsrichtungen sind welche Schwingungen beobachtbar.
 

14. Geben Sie die Auswahlregeln für den Hyperramaneffekt der Moleküle aus Beispiel 10 an.
 

15. Symmetriebetrachtungen zum Jahn-Teller Effekt. (Energieerniedrigung durch Aufhebung von Entartung). Die 5 3d Orbitale von Kupfer sind im Atom entartet. Nun wird Cu in einen Kristall auf einen Gitterplatz mit Td Symmetrie eingebaut. Welche der d-Orbitale bleiben entartet, welche spalten auf? Cu liegt als 2+ vor. Wieso kann durch Symmetrieerniedrigung von Td auf D4h Energie gewonnen werden? Was bringt eine weitere Symmetrieerniedrigung auf D2h?
 

16. Wie schaut der Eigenschaftstensor für die Piezoelektrizität aus? In welchen Punktgruppen ist Piezoelektrizität möglich. Welche Komponenten des piezoelektrischen Tensors können bei den Molekülen aus Beispiel 10 von Null verschieden sein?
 

17. Geben Sie den Eigenschaftstensor für Magnetowiderstand und Halleffekt an. Welche Komponenten sind in den kubischen Gruppen (klassische Halbleiter) möglich?
 

18. Welche Symmetrieaussagen können Sie zur optischen Aktivität (Drehung der Polarisationsebene) machen?